Jamais divisible par 13 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , l'entier \(65n+8\) n'est jamais divisible par \(13\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . Raisonnons par l'absurde et supposons que \(65n+8\) est divisible par \(13\) .

Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(65n+8=13k\) . On a alors : 
\(\begin{align*}65n+8=13k\ \ \Longleftrightarrow \ \ 8=13k-65n\ \ \Longleftrightarrow \ \ 8=13(k-5n)\ \ \Longleftrightarrow \ \ 8=13k'\end{align*}\)  
avec \(k'=k-5n \in \mathbb{Z}\) .

Ainsi, \(13\) divise \(8\) : c'est absurde. Par conséquent, \(65n+8\) n'est pas divisible par \(13\) .