Jamais divisible par 13 - Corrigé

Énoncé

Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{Z}$ , l'entier $65n+8$ n'est jamais divisible par $13$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{Z}$ . Raisonnons par l'absurde et supposons que $65n+8$ est divisible par $13$ .

Il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $65n+8=13k$ . On a alors : 
$\begin{array}{r}65n+8=13k⟺8=13k-65n⟺8=13(k-5n)⟺8=13k^{\prime }\end{array}$  
avec $k^{\prime }=k-5n\in \mathbb{Z}$ .

Ainsi, $13$ divise $8$ : c'est absurde. Par conséquent, $65n+8$ n'est pas divisible par $13$ .